Fréamh uimhir choimpléascach a bhaint as

San fhoilseachán seo, féachfaimid ar conas is féidir leat fréamh uimhir choimpléascach a ghlacadh, agus freisin conas is féidir leis seo cabhrú le réiteach cothromóidí cearnacha a bhfuil a n-idirdhealú níos lú ná náid.

Fréamh uimhir choimpléascach a bhaint as

Fréamh chearnach

Mar is eol dúinn, tá sé dodhéanta a chur ar an fhréamh fíoruimhir diúltach. Ach nuair a bhaineann sé le huimhreacha casta, is féidir an gníomh seo a dhéanamh. A ligean ar figiúr sé amach.

Ligean le rá go bhfuil uimhir againn z = -9. Fóram √-9 tá dhá fhréamh ann:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Lig dúinn na torthaí a fhaightear a sheiceáil tríd an gcothromóid a réiteach z² = -9, gan dearmad a dhéanamh air sin i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Mar sin, tá sé cruthaithe againn -3i и 3i is fréamhacha √-9.

De ghnáth scríobhtar fréamh uimhir dhiúltach mar seo:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i etc.

Fréamh chuig cumhacht n

Abair go dtugtar cothromóidí den fhoirm dúinn z = ⁿ√w… Tá n fréamhacha (z₀, De₁, De₂,…, z_n-1), ar féidir a ríomh leis an bhfoirmle thíos:

|w| is modúl uimhir choimpléascach é w;

φ – a argóint

k is paraiméadar é a ghlacann na luachanna: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Cothromóidí cearnacha le fréamhacha casta

Athraíonn an fhréamh uimhir dhiúltach a bhaint as an smaoineamh is gnách ar uXNUMXbuXNUMXb. Má tá an t-idirdhealú (D) níos lú ná nialas, mar sin ní féidir fréamhacha réadúla a bheith ann, ach is féidir iad a léiriú mar uimhreacha coimpléascacha.

Sampla

Déanaimis an chothromóid a réiteach x² – 8x + 20 = 0.

réiteach

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, ach is féidir linn fós fréamh an idirdhealaithe diúltach a ghlacadh:

√D = √-16 = ±4i

Anois is féidir linn na fréamhacha a ríomh:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Dá bhrí sin, an chothromóid x² – 8x + 20 = 0 tá dhá fhréamh chomhchuingeach casta aige:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i