Uimhir choimpléascach a ardú go cumhacht nádúrtha

San fhoilseachán seo, breithneoimid conas is féidir uimhir choimpléascach a ardú go cumhacht (lena n-áirítear úsáid a bhaint as foirmle De Moivre). Tá samplaí ag gabháil leis an ábhar teoiriciúil chun tuiscint níos fearr a fháil.

Uimhir choimpléascach a ardú go cumhacht

Ar dtús, cuimhnigh go bhfuil an fhoirm ghinearálta ag uimhir choimpléascach: z = a + bi (foirm ailgéabrach).

Anois is féidir linn dul ar aghaidh go díreach chuig réiteach na faidhbe.

Uimhir chearnach

Is féidir linn an chéim a léiriú mar tháirge de na fachtóirí céanna, agus ansin a dtáirge a aimsiú (agus sinn ag cuimhneamh air sin i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

1 Sampla:

z=3+5i

z² = (3+5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9+15i+15i+25i² = -16+30i

Is féidir leat úsáid a bhaint freisin, is é sin cearnóg na suime:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Nóta: Ar an mbealach céanna, más gá, is féidir foirmlí do chearnóg na difríochta, ciúb na suime / difríochta, etc. a fháil.

Nú céim

Ardaigh uimhir choimpléascach z comhchineáil n i bhfad níos éasca má léirítear é i bhfoirm thriantánach.

Thabhairt chun cuimhne, go ginearálta, go bhfuil cuma mar seo ar nodaireacht uimhreach: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Le haghaidh léiriú, is féidir leat é a úsáid Foirmle De Moivre (ainmnithe mar sin tar éis an matamaiticeoir Sasanach Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ)))

Faightear an fhoirmle trí scríobh i bhfoirm triantánach (méadaítear na modúil, agus cuirtear na hargóintí).

2 Sampla

Ardaigh uimhir choimpléascach z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) go dtí an t-ochtú céim.

réiteach

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°))) = 256 ⋅ (cos 280° + agus sin 280°).